sunt multe lucruri care nu sunt numere reale. Poate cea mai interesantă întrebare este „ce numere există care nu sunt numere reale?”
(1) Numere complexe.
cea mai simplă și mai naturală extensie a numerelor reale este de a adăuga #i = sqrt(-1)# și orice altceva necesar pentru a – l completa ca ceea ce se numește câmp-închis sub adunare, scădere, înmulțire și împărțire cu numere diferite de zero.
de fapt, #CC# este într-un anumit sens mult mai natural decât #RR#.
unele lucruri precum Teorema lui Taylor se comportă mult mai bine.
(2) Cuaternioni.
dacă renunțați la cerința ca multiplicarea să fie comutativă, atunci în loc de o singură pereche #+-i# de rădăcini pătrate de #-1# veți obține 3 perechi numite #+-i#, #+- j# și #+-k#. Unele proprietăți ale acestora sunt: # ij = k#, # ji = – k#, #jk = i#, #kj = – i#, etc.
(3) infinit complex unic.
Imaginați-vă o sferă așezată pe originea planului complex. Având în vedere orice punct #z# pe planul complex, trageți o linie din partea de sus a sferei prin punctul #z#. Aceasta va intersecta suprafața sferei într-un alt punct decât partea de sus. Dacă utilizați acel punct de pe suprafața sferei pentru a reprezenta numărul #z#, atunci ați definit o mapare unu-unu între toate punctele planului complex și toate punctele de pe suprafața sferei – cu excepția vârfului. Apelați partea de sus #oo# și lăsați #CC_oo# să stea pentru #CC uu {oo}#.
acesta este un exemplu simplu a ceea ce se numește suprafață Riemann. Funcții precum #f (z) = (az+b)/(cz+d)# pot fi apoi definite ca luând valoarea #oo# când #cz + d = 0# și #f (oo)# pot fi definite ca #A/c#. Apoi, definiția #f(z)# rezultată este continuă și infinit diferențiabilă în toate punctele din #CC_oo#. De asemenea, are proprietatea că mapează cercurile în cercuri (inclusiv cele care trec prin #oo#).
(4) cerc la infinit.
mai degrabă decât proiect din partea de sus a sferei, proiect din centru. Aceasta definește o cartografiere între # CC # și suprafața emisferică inferioară deschisă. Adăugați ecuatorul și aveți un inel de infinități cu unghiuri polare diferite. Cele corespunzătoare liniei reale sunt # + oo # și # – oo#, dar există un complex unic inifinity # oo (cos theta + i sin theta)# for all #theta in [0, 2pi)#.
(5) infinitezimale.
la celălalt capăt al scalei, ce se întâmplă dacă încercați să adăugați numere infinit de mici. Ei bine, poți. În general, este un pic dezordonat și are tendința de a sparge diverse lucruri, dar poate fi util.
(6) câmpuri Finite.
(7) Inele.