há muitas coisas que não são números reais. Talvez a pergunta mais interessante é: “quais são os números que não são números reais?”
(1) Números Complexos.
a extensão mais simples e natural dos números reais é adicionar #i = sqrt(-1)# e tudo o mais necessário para completá – lo como o que é chamado de campo-fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão por números não-zero.
In fact #CC # is in some sense much more natural than # RR#.
Some things like Taylor’s Theorem behave much better.
(2) quaterniões.
Se você soltar a exigência de que a multiplicação de ser comutativa, em seguida, em vez de apenas um par #+-i# de raízes quadradas de #-1# você tem 3 pares chamado #+-i#, #+-j# e #+-k#. Algumas propriedades destas são: #ij = k#, # ji = – k#, # jk = i#, # kj = – i#, etc.
(3) Infinito complexo único.
Imagine uma esfera sentada sobre a origem do plano complexo. Dado qualquer ponto #z# no plano complexo, desenhe uma linha do topo da esfera através do ponto # z#. Isto irá Intersectar a superfície da esfera num ponto diferente do topo. Se você usar esse ponto na superfície da esfera para representar o número #z# então você definiu um mapeamento de um-um entre todos os pontos do plano complexo e todos os pontos na superfície da esfera – exceto o topo. Liga para o topo e deixa-o ficar para trás.
this is a simple example of what’s called a Riemann surface. Funções como # f (z) = (az+b)/(cz+d)# podem então ser definidas como tomando o valor #oo# quando #CZ + d = 0# E #f(oo)# podem ser definidas como #a/c#. Então a definição resultante de # f (z)# é contínua e infinitamente diferenciável em todos os pontos em #CC_oo#. Ele também tem a propriedade que mapeia círculos em círculos (incluindo aqueles que passam por #oo#).
(4) círculo no infinito.
em vez de projectar a partir do topo da esfera, projecta-se a partir do centro. Isto define um mapeamento entre # CC# e a superfície hemisférica inferior aberta. Adicione o equador e você tem um anel de infinitos com diferentes ângulos polares. Os que correspondem à linha real são # + oo# e # – oo#, mas há uma inifinidade complexa única # oo (cos theta + i sin theta) #para todos#theta em [0, 2pi)#.
(5) infinitesimais.
no outro extremo da escala, O Que Acontece se você tentar adicionar números infinitamente pequenos. Bem, tu podes. Geralmente é um pouco confuso e tende a quebrar várias coisas, mas pode ser útil.
(6) campos finitos.Anéis .