jest wiele rzeczy, które nie są liczbami rzeczywistymi. Być może najciekawszym pytaniem jest ” jakie są liczby, które nie są liczbami rzeczywistymi?”
(1) Liczby zespolone.
najprostszym i najbardziej naturalnym rozszerzeniem liczb rzeczywistych jest dodanie #i = sqrt (-1)# i wszystko inne wymagane do jego uzupełnienia jako tzw. Pole-zamknięte pod dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem przez liczby niezerowe.
w rzeczywistości #CC # jest w pewnym sensie bardziej naturalny niż#RR#.
niektóre rzeczy takie jak twierdzenie Taylora zachowują się znacznie lepiej.
(2)
jeśli odrzucisz wymóg, aby mnożenie było przemienne, to zamiast jednej pary #+-i# pierwiastków kwadratowych #-1# dostajesz 3 pary o nazwie # + – i#, # + – j# I # + – k#. Niektóre ich właściwości to:# ij = k#,# ji = – k#,# jk = i#,# kj = – i#, itd.
(3) pojedynczy kompleks nieskończoności.
wyobraź sobie sferę siedzącą na początku złożonej płaszczyzny. Biorąc pod uwagę dowolny punkt #z# na płaszczyźnie zespolonej, narysuj linię od góry kuli przez punkt # z#. To przecina powierzchnię kuli w jednym punkcie innym niż wierzchołek. Jeśli użyjesz tego punktu na powierzchni sfery do reprezentowania liczby #z#, to zdefiniujesz jeden-jeden odwzorowanie pomiędzy wszystkimi punktami płaszczyzny złożonej i wszystkimi punktami na powierzchni sfery-z wyjątkiem wierzchołka. Zadzwoń do góry #oo# i niech # CC_oo # oznacza # CC uu {oo}#.
jest to prosty przykład tzw. powierzchni Riemanna. Funkcje takie jak # f (z) = (az+b)/(cz+D)# mogą być zdefiniowane jako #oo#, gdy #cz + D = 0# i #f (oo)# mogą być zdefiniowane jako #A/c#. Następnie wynikowa definicja # f( z) #jest ciągła i nieskończenie różniczkowalna we wszystkich punktach#CC_oo#. Ma również tę właściwość, że mapuje okręgi na okręgi (w tym te przechodzące przez #oo#).
(4) okrąg w nieskończoności.
zamiast projektu z góry sfery, projektu z centrum. Definiuje to odwzorowanie pomiędzy # CC# a otwartą dolną powierzchnią półkuli. Dodaj równik i masz pierścień nieskończoności o różnych kątach biegunowych. Te odpowiadające prostej rzeczywistej to # + oo # i # – oo#, ale istnieje unikalny kompleks # oo (cos theta + i sin theta) # dla wszystkich # theta w [0, 2pi)#.
(5)
na drugim końcu skali, co się stanie, jeśli spróbujesz dodać nieskończenie małe liczby. Możesz. Ogólnie jest to trochę niechlujne i ma tendencję do łamania różnych rzeczy, ale może być przydatne.
(6)
(7)